平面向量入门基础公式


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平面向量入门基础公式


1.设a=(x,y),b=(x',y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ 当∣λ∣0)或反方向(λ 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律); (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a*b。若a、b不共线,则a*b的模是:∣a*b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a*b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a*b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a*b=0。 向量的向量积性质: ∣a*b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a*a=0。 a‖b〈=〉a*b=0。 向量的向量积运算律 a*b=-b*a; (λa)*b=λ(a*b)=a*(λb); (a+b)*c=a*c+b*c. 注:向量没有除法,“向量AB向量CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号; ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号; ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)(1+λ), y=(y1+λy2)(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0,则ab的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 ab的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 a?b=0。 a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量.


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