平面向量完整教程


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1.一、基本知识: 1.向量的概念及其表示方法: 既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向。 2.向量的运算 向量运算 定义 坐标运算运算律 加法 己知向量 、 ,在平面内任取一点 ,解 , ,则向量 叫做 与 的和,记作 ; 求两个向量和的运算,叫做向量的加法。 减法 向量 加上 的相反的向量,叫做 与 的差;求两个向量差的运算,叫做向量的减法 实数与向量的积 ,其中当 与 同向, ;当 时 与 反向, 向量的数量职 二、重要定理、公式 1.平面向量基本定理: 若 、 是同一平面内的两个不共线的向量,那么,对该平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 、 ,使 2.两个向量平行的充要条件: ∥ 若 , 则 ∥ 3.两个非零向量垂直的充要条件: 若 , 则 4.线段的定比分点坐标公式: 设 , , ,且 ,则 当 时,得中点坐标公式 5.平移公式: 若点 按向量 平移至 ,则 6.正弦定理、余弦定理: (1)正弦定理: (2)余弦定理: 三、学习要求和需要注意的问题 1.学习要求 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 (2)掌握向量的加法与减法的运算法则及运算律。 (3)掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。 (4)了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量可以处理有关长度、角度和垂直问题,掌握向量垂直的条件 (6)掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟悉运用;掌握平移公式。 (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形。 (8)通过解三角形的应用学习,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 2.需要注意的问题 (1)这一章里,我们学习的向量具有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量。 (2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础。 (3)向量的数量积是一个数,当两个向量的夹角是锐角时,它们的数量积大于0;当两个向量的夹角是钝角时,它们的数量积小于0;当两个向量的夹角是90°时,它们的数量积等于0,零向量与任何向量的数量积等于0。 (4)通过向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。 (5)数量积不满足结合律,这是因为 与 的结果都是数量,所以 与 都没有意义,当然就不可能相等。


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